JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是某种网络特性的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。一一二个多多多图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了一一二个多多多图的特性:

  在介绍如可用JavaScript实现图本来,其他人先介绍其他和图相关的术语。

  如上图所示,由一根边连接在一起的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。一一二个多多多顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它一一二个多多多顶点相连,本来A的度为3,E和其它一一二个多多多顶点相连,本来E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中带有路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包带有重复的顶点,但会 将的最后一一二个多多多顶点上加,它也是一一二个多多多简单路径。例如路径ADCA是一一二个多多多环,它都一一二个多多多多简单路径,但会 将路径中的最后一一二个多多多顶点A上加,不在 它本来一一二个多多多简单路径。但会 图中不所处环,则称该图是无环的。但会 图中任何一一二个多多多顶点间都所处路径,则该图是连通的,如上图本来一一二个多多多连通图。但会 图的边不在 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,但会 一一二个多多多顶点间在双向上都所处路径,则称这些 一二个多多多顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。但会 有向图中的任何一一二个多多多顶点间在双向上都所处路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还能算是加权的。前面其他人看到的图都是未加权的,下图为一一二个多多多加权的图:

  可不可以想象一下,前面其他人介绍的树和链表也属于图的某种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,例如其他人可不可以搜索图中的一一二个多多多特定顶点或一根特定的边,但会 寻找一一二个多多多顶点间的路径以及最短路径,检测图中是算是所处环等等。

  所处多种不同的土妙招来实现图的数据特性,下面介绍几种常用的土妙招。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,其他人用一一二个多多多二维数组来表示图中顶点之间的连接,但会 一一二个多多多顶点之间所处连接,则这些 一二个多多多顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,但会 为0。下图是用邻接矩阵土妙招表示的图:

  但会 是加权的图,其他人可不可以将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵土妙招所处一一二个多多多缺点,但会 图是非强连通的,则二维数组中会有本来的0,这表示其他人使用了本来的存储空间来表示根本不所处的边。本来缺点本来当图的顶点所处改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外某种实现土妙招是邻接表,它是对邻接矩阵的某种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,其他人可不可以用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  其他人还可不可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的情况汇报下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵土妙招表示的图:

  下面其他人重点看下如可用邻接表的土妙招表示图。其他人的Graph类的骨架如下,它用邻接表土妙招来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中上加一一二个多多多新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中上加a和b一一二个多多多顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,其他人用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据特性——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每一一二个多多多顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面其他人给出的邻接表的示意图。但会 在Graph类中,其他人提供一一二个多多多土妙招,土妙招addVertex()用来向图中上加一一二个多多多新顶点,土妙招addEdge()用来向图中上加给定的顶点a和顶点b之间的边。让其他人来看下这些 一二个多多多土妙招的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要上加一一二个多多多新顶点,首不难 判断该顶点在图中是算是但会 所处了,但会 但会 所处则非要上加。但会 不所处,就在vertices数组中上加一一二个多多多新元素,但会 在字典adjList中上加一一二个多多多以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 但会

图中不在

顶点a,先上加顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 但会

图中不在

顶点b,先上加顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中上加指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中上加指向顶点a的边
}

  addEdge()土妙招也很简单,首不难 确保给定的一一二个多多多顶点a和b在图中须要所处,但会 不所处,则调用addVertex()土妙招进行上加,但会 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中上加一一二个多多多新元素。

  下面是Graph类的完正代码,其中的toString()土妙招是为了其他人测试用的,它的所处都是须要的。

  对于本文一结束了了英语 英语 给出的图,其他人上加下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  可不可以看到,与示意图是相符合的。

  和树例如,其他人也可不可以对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历土妙招分为某种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和厚度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历可不可以用来寻找特定的顶点或一一二个多多多顶点之间的最短路径,以及检查图是算是连通、图中是算是带有环等。

  在接下来要实现的算法中,其他人按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问但会 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第一一二个多多多顶点结束了了英语 英语 遍历图,先访问这些 顶点的所有相邻顶点,但会 再访问哪此相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  但会 其他人采用邻接表的土妙招来存储图的数据,对于图的每个顶点,都一一二个多多多多字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于这些 数据特性,其他人可不可以考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,但会 依次正确处理队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将结束了了英语 英语 顶点存入队列。
  2. 遍历结束了了英语 英语 顶点的所有邻接顶点,但会 哪此邻接顶点不在 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),但会 加入队列。
  3. 将结束了了英语 英语 顶点标记为被正确处理(颜色为黑色)。
  4. 循环正确处理队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()土妙招接收一一二个多多多graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要如可正确处理被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),哪此颜色保所处以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性可不可以通过getVertices()和getAdjList()土妙招得到,但会 构造一一二个多多多队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据特性——队列的实现与应用》),按照中间描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面其他人给出的测试用例的基础上,上加下面的代码,来看看breadthFirstSearch()土妙招的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也本来其他人用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,其他人将顶点I塞进去最中间。从顶点I结束了了英语 英语 ,首先遍历到的是它的相邻顶点E,但会 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D但会 被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G但会 被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,其他人可不可以使用它做更多的事情,例如在一一二个多多多图G中,从顶点v结束了了英语 英语 到其它所有顶点间的最短距离。其他人考虑一下如可用BFS来实现寻找最短路径。

  假设一一二个多多多相邻顶点间的距离为1,从顶点v结束了了英语 英语 ,在其路径上每经过一一二个多多多顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()土妙招的改进,用来返回从起始顶点结束了了英语 英语 到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()土妙招中,其他人定义了一一二个多多多对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及哪此顶点的前置顶点。BFS()土妙招不须要callback回调函数,但会 它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()土妙招的逻辑例如,只不过在结束了了英语 英语 的本来将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,但会 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。其他人仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A结束了了英语 英语 到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()土妙招的返回结果为基础,通过下面的代码,其他人可不可以得出从顶点A结束了了英语 英语 到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类可不可以参考《JavaScript数据特性——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上其他人说的都是未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并都是最相当于的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

厚度优先

  厚度优先算法从图的第一一二个多多多顶点结束了了英语 英语 ,沿着这些 顶点的一根路径递归查找到最后一一二个多多多顶点,但会 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,厚度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是厚度优先遍历的示意图:

  其他人仍然采用和广度优先算法一样的思路,一结束了了英语 英语 将所有的顶点初始化为白色,但会 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,但会 顶点被探索过(正确处理过),则将颜色改为黑色。下面是厚度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第一一二个多多多顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数组织组织结构,但会 顶点A被访问过了,本来将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(但会 所处),但会 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,本来将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,本来将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,本来将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I不在 邻接节点,但会 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E不在 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的本来邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,本来将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F不在 邻接节点,但会 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第二个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,本来将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,本来将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,本来将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G不在 邻接节点,但会 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的本来邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,本来将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H不在 邻接节点,但会 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的本来邻接节点G,但会 G但会 被访问过,对C的邻接节点的遍历结束了了英语 英语 。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后一一二个多多多邻接节点D,但会 D但会 被访问过,对A的邻接节点的遍历结束了了英语 英语 。将A设置为黑色。
  17. 但会 对剩余的节点进行遍历。但会 剩余的节点都被设置为黑色了,本来tcp连接结束了了英语 英语 。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,其他人将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,厚度优先算法的数据特性是栈,然而这里其他人并不在 使用栈来存储任何数据,本来使用了函数的递归调用,我我嘴笨 递归也是栈的某种表现形式。另外其他,但会 图是连通的(即图中任何一一二个多多多顶点之间都所处路径),其他人可不可以对上述代码中的depthFirstSearch()土妙招进行改进,只须要对图的起始顶点结束了了英语 英语 遍历一次就可不可以了,而不须要遍历图的所有顶点,但会 从起始顶点结束了了英语 英语 的递归就可不可以覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了厚度优先算法的工作原理,其他人可不可以使用它做更多的事情,例如拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort但会 toposort)。与广度优先算法例如,其他人也对中间的depthFirstSeach()土妙招进行改进,以说明如可使用厚度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()土妙招会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,其他人假定时间从0结束了了英语 英语 ,每经过一步时间值加1。在DFS()土妙招中,其他人用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(这些 和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这些 一二个多多多值。这里须要注意的是,变量time不言而喻被定义为对象而都一一二个多多多多普通的数字,是但会 其他人须要在函数间传递这些 变量,但会 本来作为值传递,函数组织组织结构对变量的修改不需要影响到它的原始值,但会 其他人本来须要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,本来采用值传递的土妙招显然不行。但会 其他人将time定义为一一二个多多多对象,对象被作为引用传递给函数,本来在函数组织组织结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()土妙招的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  其他人将结果反映到示意图上,本来更加直观:

  示意图上每一一二个多多多顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完正完成时间是18,可不可以结合前面的厚度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。一起其他人也看到,厚度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序非要应用于有向无环图(DAG)。基于中间DFS()土妙招的返回结果,其他人可不可以对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到其他人须要的拓扑排序结果。

  但会 要实现有向图,只须要对前面其他人实现的Graph类的addEdge()土妙招略加修改,将最后一行删掉。当然,其他人也可不可以在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  但会 其他人对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章其他人将介绍如可用JavaScript来实现各种常见的排序算法。