纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是有一种数学证明土办法 ,常用于证明命题(命题是对某个问题报告 的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了许多许多领域(比如数学分析)的基础,很多 数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法有一种非常简单。不可能 亲戚亲戚许多人我不需要证明某个命题对于自然数n都成立,这样:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下顶端的有另十个 步骤。它们实际上原因分析分析,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。已经 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚许多人选着n的倒下会原因分析分析n + 1的倒下,已经 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚许多人来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这名公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,都要算出1到1150的累加,不可不都能不能 回家。于是高斯想出了顶端的土办法 。天才全部时会被逼出来的么?)

亲戚亲戚许多人的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,已经 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    这样,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。已经 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

已经 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有另十个 计算机系统线程调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求系统线程有有另十个 不需要可不都能不能 达到的终止条件(base case)。比如下面的系统线程,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在系统线程中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我不需要得到f(n),都要计算f(n-1);我不需要f(n-1),都要计算f(n-2)……直到f(1)。不可能 亲戚亲戚许多人不可能 知道了f(1)的值,亲戚亲戚许多人就还都要填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的系统线程实现。使用递归设计系统线程的完后 ,亲戚亲戚许多人设置base case,并假设亲戚亲戚许多人会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚许多人只关注初始和衔接,而不都要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据行态实现的。正如亲戚亲戚许多人顶端所说的,计算f(n),都要f(n-1);计算f(n-1),都要f(n-2)……。亲戚亲戚许多人在寻找到f(1)完后 ,会有许多空缺: f(n-1)的值那此? f(n-2)的值是那此? …… f(2)的值是那此?f(1)的值是那此? 亲戚亲戚许多人的第有另十个 问题报告 是f(n)是那此,结果,这名问题报告 引出下有另十个 问题报告 ,再下有另十个 问题报告 …… 每个问题报告 的解答都依赖于下有另十个 问题报告 ,直到亲戚亲戚许多人找到第有另十个 还都要回答的问题报告 : f(1)的值是那此?

亲戚亲戚许多人用栈来保存亲戚亲戚许多人在探索过程中的问题报告 。C语言中,函数的调用不可能 是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,很多 很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚许多人的“问题报告 ” 。

亲戚亲戚许多人假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚许多人调用f(1150),这样当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1150)暂停执行,并记录当前的请况,比如n的值,当前执行到的位置。已经 调用f(99),栈增加有另十个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

已经 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1150),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1150)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还都要自行手动实现栈。很多 还都要得到更好的运行效率。

总结

数学归纳法

递归

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